最適化におけるリスク四角形：最近の成果と拡張を含む概要

要旨: 本論文は、Rockafellar と Uryasev による 2013 年の Risk Quadrangle（RQ）の開発を、リスク管理、最適化、統計的推定を統合するための統一的枠組みとして見直し、さらに拡張するものである。RQ には、リスク、偏差、後悔（regret）、誤差（error）という 4 つの確率（stochastics）志向の汎関数と、それに対応する統計量が含まれており、それらの洞察に富んだ、そしてある意味で驚くべき相互関係と双対化（dualizations）を明確にする。本論文では、2013 年以降に RQ 枠組みにおいて明らかになってきた追加事項を、理論的な進展と実際的な応用の両方に焦点を当てた統合的な観点からレビューする。新たな四角形として、superquantile、superquantile ノルム、expectile、biased mean、quantile symmetric average union、および varphi-divergence に基づく四角形が挙げられ、機械学習、統計、金融、PDE 制約付き最適化といった様々な分野におけるリスク感度の高い意思決定に対する新規のアプローチを提供する。理論的な貢献は、四角形汎関数の「regularity（正則性）」を緩和する「subregularity（準正則性）」の公理にあるが、この正則性は一部の応用では制約が強すぎる。主要な RQ の定理とその関連性は、このより広い枠組みに対して再検討され、厳密に拡張される。例として、ポートフォリオ最適化、回帰、分類が提示され、そこでは、双対性がもたらす利点、特に頑健最適化や一般化された確率（stochastic）ダイバージェンスとの結びつきにおける役割が示される。