グラフ上の確率測度のバリセンター計算に関する静的および動的アプローチ

要旨: 最適輸送問題は、確率測度の幾何学を定義し、測度の重み付き平均（バリセンター）を定義することにつながり、信号処理ツールとして機械学習およびコンピュータビジョンのコミュニティで応用されています。ここでは、古典的な最適輸送の幾何学が退化してしまう状況である、グラフ上に台を持つ（支持される）測度のためのバリセンター符号化モデルを実装します。これは、最適輸送問題の動的定式化によって誘導される単体上のリーマン構造を活用することにより実現します。私たちは、このリーマン構造に付随する指数写像、ならびにその逆写像を、離散空間上に台を持つ測度に対する輸送距離を数値的に近似するために、作用を最小化する曲線を計算する既存の手法を利用して近似します。次に、本質的勾配降下（intrinsic gradient descent）を用いてバリセンターを合成します。ここでは、分散汎関数の勾配を、現在の反復と参照測度の間の測地線曲線を近似することで計算します。その後、反復は連続の方程式の離散化によって押し進められます。与えられた参照辞書に対して測度を解析することは、目標測度と参照測度の間で測地線を計算して形成される二次計画法を解くことによって行います。私たちは、新規なアプローチを、グラフ構造をグラフ距離関数で符号化する、最適輸送問題の静的定式化に対するエントロピー正則化に基づく方法と比較します。提案手法を検証する数値実験を示し、最後に、確率単体上の本質的勾配降下が、グラフ上に台を持つ測度の合成および解析のための首尾一貫した枠組みを与えると結論づけます。