高次元逆問題に対する適応的正則化パラメータの選択: Tucker低ランク制約を用いたベイズ的アプローチ

要旨: 本論文は、Tucker分解を統合した新規の変分ベイズ法を提案し、効率的な高次元逆問題の解法を実現します。 この手法は、Tucker分解を介して変分推論を高次元空間から低次元のコアテンソル空間へ変換することにより、計算コストを削減します。 重要な革新は、モードごとの精度パラメータの導入であり、異方性構造に対する適応的正則化を可能にします。 例えば、方向性を有する画像のブラー除去では、学習されたパラメータが物理的な異方性と一致し、重要な方向（例：行軸と列軸）に対してより強い正則化を適用します。 この手法はデータからノイズレベルを推定し、ノイズパラメータに関する事前知識への依存を排除します（従来の指標である不一致原理（DP）などとは異なります）。 2Dブラー除去、3D熱伝導、フレッドホルム積分方程式にわたる実験評価は、L-曲線基準、一般化交差検証（GCV）、不偏予測リスク推定量（UPRE）、およびDPと比較して、定量指標（PSNR、SSIM）の一貫した改善と、誤差マップや精度パラメータの推移といった定性的な可視化の改善を示します。 このアプローチは110,000個の変数を有する問題へスケールし、デブラータスクでは従来手法を0.73〜2.09 dB、3D熱伝導では6.75 dB上回ります。 制限として、Tucker分解における階数選択への感度と理論的分析の必要性が挙げられます。 今後は自動化された階数選択と理論的保証の解明を検討します。 この手法はベイズ理論とスケーラブルな計算とを結びつけ、画像処理、リモートセンシング、科学計算における大規模逆問題に対する実用的な解法を提供します。