コルモゴロフ＝アノルド・ネットワークの普遍性に関する必要十分条件

要旨: 本稿では、辺（エッジ）関数の観点から、コルモゴロフ＝アーノルド・ネットワーク（KAN）の普遍近似性（universal approximation property）を解析する。これらの関数がすべてアフィンであるならば、明らかに普遍性は成立しない。普遍性を保証するために、アフィン関数に加えて、非アフィン関数はあと何個必要なのだろうか？我々は、1つで十分であることを示す。より正確には、すべての辺関数がアフィンであるか、あるいは固定された連続関数  sigma に等しい深いKANが、任意のコンパクト集合 K\subset\mathbb{R}^n に対して C(K) において稠密であることが成り立つのは、かつそのときに限って  sigma が非アフィンである場合であることを証明する。対照的に、ちょうど2つの隠れ層をもつKANでは、普遍性は  sigma が非多項式である場合に限り成立する。さらに、アフィン関数の全クラスは不要であり、それは有限集合で置き換えても普遍性には影響しないことを示す。特に非多項式の場合、深さが任意であっても、固定された5つのアフィン関数の族で十分である。より一般に、任意の連続な非アフィン関数  sigma について、有限のアフィン族 A_\sigma が存在し、辺関数が A_\sigma\cup\{\sigma\} に属する深いKANは普遍性を保つことを示す。また、Liu らによって導入された、スプラインに基づく辺のパラメータ化（\cite{Liu2024}）を用いたKANが、スプライン次数および結び目列（knot sequence）をあらかじめ固定していても、古典的な意味での普遍近似器であることも証明する。