異方的な衝撃支配およびマルチスケールのパラメトリック偏微分方程式に対するシアレット・ニューラル・オペレータ

Abstract

ニューラルオペレータは、パラメトリックな偏微分方程式（PDE）の解オペレータを学習するための強力なデータ駆動型サロゲートとして登場してきました。しかし、広く用いられているフーリエニューラルオペレータ（FNO）は、グローバルなフーリエ表現に依存しているため、衝撃（ショック）支配のレジームや多重スケールな状況で生じる、異方的構造、鋭い勾配、空間的に局在した不連続性を解像する際に非効率になり得ます。これらの制約に対処するために、本研究では、フーリエ変換をシアレット（shearlet）ベースの表現に置き換えるニューラルオペレータ・アーキテクチャであるシアレット・ニューラルオペレータ（SNO）を提案します。シアレットは、異方的特徴に対してほぼ最適な疎近似を提供する、方向性を持ち、かつ多重スケールで空間的に局在した原子（アトム）を備えており、エッジ、フロント、ショックを含むPDE解に整合する帰納バイアスを与えます。SNOはシアレット領域で学習し、逆変換によって予測を再構成することで、効率的なスペクトル計算を維持しつつ、局所性と方向選択性を改善します。強く異方的な移流、異方的拡散、ならびに直線的・曲線的・相互作用する・スパイラル状・多角形状のショック構造を伴う非線形保存則を含む7つのベンチマークPDEファミリーにおいて、SNOは一貫してFNOの基準（ベースライン）よりも予測精度と特徴の忠実度を改善し、特に異方的で不連続性が支配的な設定で最大の向上が観察されます。