DVF-CRVPINN：離散変分定式化とコロケーションベースの頑健なVPI(NN)学習を支えるPythonライブラリ

要旨: 本稿では、離散的な弱形式を用いて偏微分方程式（PDE）を解く可能性を探る。離散計算領域を定義するためのプログラミング環境を提案し、点の集合上で定義された離散関数を導入する。さらに、離散内積を構成し、Kroneckerデルタのテスト関数を用いた離散的な弱形式を導入する。この構成に基づき、離散点の集合上で定義された解関数を学習し、自動微分手続きにおいて離散の有限差分微分を用いる、離散ニューラルネットワーク表現を提案する。計算モデル例として困難な題材として、2次元におけるストークス方程式を、離散点の集合上で定義されたものとして取り上げる。離散弱残差とAdamaxアルゴリズムを用いて解を学習し、離散勾配の離散的な自動微分を用いる。python環境を導入する一方で、離散的な弱形式に基づく厳密な数学的定式化も併せて提示し、損失関数の適切性（well-posedness）および頑健性を証明する。離散弱形式の解法は、真の誤差に関連する頑健な損失関数を用いたニューラルネットワーク学習に基づく。これにより、ニューラルネットワークの学習中における数値誤差を頑健に制御できる。ストークスの定式化に加えて、提案ライブラリの機能について、ラプラス問題の定式化を用いて説明する。