要旨: 本論文では、連続体マージナルの最適輸送を研究する。時間連続な確率マージナル族が与えられたとき、その流れがすべてのマージナルを再現する最小エネルギーの速度場を回復することが目的である。この問題は、古典的な二つのマージナルに対する Benamou--Brenier の定式化の連続体極限であり、また確率的最適輸送における Nelson 問題の決定論的極限でもある。本研究では、この問題に対する実用的なメッシュレスソルバを提案する。弱い連続の方程式を再生核ヒルベルト空間に埋め込むことで、空間離散化を不要とするサンプルのみを用いた目的関数が得られる。速度は、任意の線形にパラメータ化された辞書またはニューラルネットワークによって表現され、ミニバッチの確率的手法によって最適化される。合成実験により、この手法が正確なドリフト回復とマージナル整合性を達成することが確認される。同一の計算フレームワークは、確率的 Nelson 問題にも適用できる。
連続体—マルジナル最適輸送：メッシュフリーのカーネル手法
arXiv stat.ML / 2026/4/28
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要点
- 本論文は、連続時間で与えられる確率分布（マルジナル）をその流れで再現するための最小エネルギーな速度場を復元する「連続体—マルジナル最適輸送」を扱います。
- この問題は、2マルジナルのベナモウ–ブレニエ型定式化の連続体極限であるだけでなく、確率的最適輸送におけるネルソン問題の決定論的極限とも関係づけられます。
- 著者らは、弱い連続の方程式を再生核ヒルベルト空間（RKHS）に埋め込むことで、空間離散化を不要にしつつサンプルのみで計算できる目的関数を用いる、実用的なメッシュフリー解法を提案します。
- 速度場は線形-in-パラメータの辞書、またはニューラルネットワークで表現でき、ミニバッチの確率的最適化で学習されます。
- 合成実験では、ドリフトの復元精度とマルジナル整合性が良好であることが示され、同じ計算枠組みが確率的ネルソン問題にも適用できると述べられています。
