FNO$^{\angle \theta}$：分布定数系の状態学習と最適制御のための拡張フーリエニューラル演算子

Abstract

本稿では、偏微分方程式によって支配されるシステムの状態および線形二次の加法的最適制御を学習するための、拡張フーリエニューラルオペレータ（FNO）アーキテクチャを提案する。エーレンプレイス＝パラモドフの基本原理を用いて、定数係数をもつ線形PDEの任意の状態および最適制御が、複素領域における積分として表現できることを示す。この表現の被積分関数は、FNO層において畳み込み演算子を表すために用いられる逆フーリエ変換におけるものと同じ指数関数項を含んでいる。これに着想を得て、基本原理から導かれる積分表現を捉えるため、逆フーリエ変換における周波数変数を実数から複素領域へ拡張することで、FNO層を修正する。非線形バーガース方程式に対する状態および最適制御の学習におけるFNOの性能を具体的に示し、訓練誤差で桁（オーダー）レベルの改善と、FNOよりも非周期的境界値の予測精度が高いことを示す。