データ非対称性の活用: フィンスラー幾何学における多様体学習

要旨: マニフォールド学習は、データ分析と視覚化の核となる基礎タスクです。高次元の複雑なデータの単純な基礎構造を、低次元の埋め込みにおいて対成の非類似度を保持することによって捉えようとします。伝統的な方法は対称なリーマン幾何学に依存しており、従って対称の非類似度と埋め込み空間（例: ユークリッド）を強制します。しかし、これはデータサンプルの非均一性に内在する貴重な非対称情報を実務上失ってしまいます。我々は、この非対称性を活用するため、リーマン幾何学の非対称な一般化であるフィンスラー幾何学に切り替え、非対称な非類似度を構築してフィンスラー空間に埋め込むフィンスラー多様体学習パイプラインを提案します。これにより、従来の対称埋め込み器の適用範囲が、伝統的に指向データに限られるものを超え、あらゆるデータに適用可能になります。また、フィンスラー t-SNE やフィンスラー UMAP のような現在の参照手法を非対称性へ一般化することで、非対称埋め込み器を現代化します。制御された合成データおよび大規模な実データセットを対象とした実験では、我々の非対称パイプラインが伝統的なパイプラインで失われる貴重な情報、例えば密度の階層を明らかにし、ユークリッド空間ベースの対応手法よりも一貫して優れた品質の埋め込みを提供することを示します。