物理インフォームドニューラルネットワークのための線形グリッドにおける座標エンコーディング

概要: 偏微分方程式（PDE）を解く際、物理法則を利用した機械学習は、メッシュ不要の解法、教師なし学習、そして高次元問題を解くための実現可能性といった利点により、注目を集めています。効果的なアプローチとして、物理インフォームドニューラルネットワーク（PINN）があります。PINNは、さまざまな学術・産業用途で優れた性能を示すことで知られる深層ニューラルネットワークに基づいています。しかし、PINNはスペクトルバイアス問題のため収束が著しく遅くなり、モデル学習に苦戦していました。本研究では、線形グリッドセル上で座標エンコーディング層を備えたPINNベースの手法を提案します。提案手法は、グリッドセルを用いて局所領域を分離することで、学習の収束速度を向上させます。さらに、軸非依存の線形グリッドセルを用いることで、全体の計算コストも低減します。また、自然三次スプラインを用いて、グリッド点間のエンコードされた座標を適切に補間することにより、損失関数のために計算されるモデルの連続微分可能な導関数関数が保証され、効率的かつ安定したモデル学習を実現します。数値実験の結果は、提案手法が有効な性能を示し、さらに学習の収束速度が効率的であることを実証しています。