閉形式ヘッド適応による伝達可能な物理情報付き表現

Abstract

物理インフォームドニューラルネットワーク（PINN）は、幅広い物理現象を支配する偏微分方程式（PDE）を解く可能性により、大きな注目を集めてきました。学習プロセスに物理法則を組み込むことで、PINNモデルは物理的な結果をかなり適切に学習できることが示されています。しかし、現在のPINN手法は、学習例が不足している場合に新しいPDEを効果的に予測または解くのに苦労しており、未見の問題インスタンスに対してうまく一般化できないことが示唆されます。本論文では、高速Pseudoinverse PINNフレームワーク（Pi-PINN）に基づく、PINNのための転移学習アプローチを提案します。Pi-PINNは、共有埋め込み空間において転移可能な物理インフォームド表現を学習し、PDE制約のもとで、最小二乗に最適な擬似逆行列を用いた閉形式のヘッド適応により、既知および未知のPDEインスタンスの両方を迅速に解けるようにします。さらに、データ駆動のマルチタスク学習損失と、物理インフォームド損失の間の相乗効果を調査し、より高性能なPINNの設計に関する洞察を提供します。Poissonの方程式、Helmholtzの方程式、Burgersの方程式を含むさまざまなPDE問題に対してPi-PINNの有効性を実証し、未見インスタンスに対するデータを一切必要とせず、迅速かつ正確な物理インフォームド解を達成します。Pi-PINNは、典型的なPINNよりも予測を100〜1000倍高速に生成できる一方で、わずか2つの学習サンプルしか用いなくても、典型的なデータ駆動モデルより相対誤差を10〜100倍低くした予測を生成します。総じて、本研究の結果は、閉形式のヘッド適応を伴う転移可能な表現が、PDEファミリーおよび科学・工学アプリケーションにわたるPINNの効率と汎化を高め得る可能性を示しています。