高次元での2ブロック構造化ハダマール回転による一様乱回転の近似
arXiv cs.LG / 2026/4/28
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要点
- 本論文は、ウォルシュ・ハダマール変換とランダム符号対角行列を用いる実務的手法を踏まえ、高次元において「2ブロック」構造化ハダマール回転が一様乱回転をどの程度近似できるかを解析します。
- 良い点として、固定した各座標について、2ブロック変換はあらゆる入力にわたり、一様乱回転したベクトルの対応座標へ一様に収束することを証明し、その収束には d^{-1/5} オーダーの明示的なコルモゴロフ距離の評価を与えます。
- 悪い点として、2ブロック変換で生成されるベクトル全体の分布は、最悪ケースでは一様乱回転の分布から測定可能にずれ得ることを示し、ワッサースタイン距離の明示的な下限を与えます。
- 下限の根拠となる「極端」な入力については、漸近的な上限と一致することも示され、誤差のスケーリングがその入力に対して厳密（タイト）であると示します。
- 結果として、1次元の周辺分布では次元とともに近似が改善する一方で、高次元の幾何全体では消えない不一致が残るという分離が明らかになり、構造化ハダマール回転の経験的な有効性と、真の一様乱回転の単純な置き換えとしての限界の両方を説明します。
