自己教師ありグラフニューラルネットワークによるメッシュレス離散微分演算子の学習

要旨: メッシュフリー数値手法は複雑な幾何に対して柔軟な離散化を提供しますが、古典的なメッシュフリー離散微分演算子では、典型的に、低い計算コストと引き換えに精度が限定されるか、あるいは高い精度を得る代わりに各ステンシル（局所計算領域）あたりの計算が実質的に重くなる、というトレードオフが生じます。本研究では、切り詰めたテイラー展開から導かれる多項式モーメント制約を用いて訓練したグラフニューラルネットワークにより、メッシュフリー離散微分演算子を学習するためのパラメータ化された枠組みを導入します。モデルは、局所ステンシルの相対位置を離散演算子の重みに直接マッピングします。本研究の成果は、ニューラルネットワークが、頑健性を不規則な近傍幾何に対して保ちながら、古典的な多項式整合性を学習できることを示しています。学習された演算子は局所的な幾何のみへ依存し、解像度に依存せず、粒子配置や支配方程式を越えて再利用可能です。本枠組みを標準的な数値解析診断によって評価し、Smoothed Particle Hydrodynamics（SPH）よりも精度が向上することを示します。また、中程度の精度領域において、代表的な高次の整合的なメッシュフリー手法に対して、好ましい精度—コストのトレードオフが得られます。適用可能性は、学習された演算子を用いて、弱圧縮性ナビエ—ストークス方程式を解くことで実証します。