無限次元偏微分方程式と最適制御のための深層ヒルベルト‑ガレルキン法

要約:
分離可能なヒルベルト空間上で、無限次元制御のHJB方程式のような全非線形の二階偏微分方程式に対する深層学習ベースの近似手法を、Hilbert--Galerkin ニューラル・オペレーター（HGNOs）を用いて解をパラメータ化することで開発します。初の普遍近似定理（UATs）を、ヘシアン項の新規トポロジーと、それに対応する全非線形演算子上の新規連続性仮定に基づいて提示し、これらの問題に対処するのに十分な力を持つことを証明します。これらのトポロジーは非列挙的・非計量的であり、問題を取り扱ううえでデリケートになります。特に、ヒルベルト空間上の関数と、それらのフレシェ微分を2階まで含むUATを証明し、かつ一階導関数に作用する有界でない演算子に対しても適用可能であることを示し、HGNOがすべてのPDE項を近似できるようにします。制御問題については、私たちの近似値関数 HGNO に基づく最適フィードバック制御についてのUATも証明します。
深層ヒルベルト--Galerkin 法および Hilbert Actor-Critic（強化学習）法と呼ぶ数値訓練手法を、有限次元へ射影されたPDE のみならず、全体のヒルベルト空間上のPDE残差の L^2_\mu(H)-ノルムを最小化することにより開発します。これはこのようなアプローチを提案した初めての論文です。対象となるモデルは、物理学におけるファンクショナル微分方程式や、制御されたPDE、SPDE、パス依存系、部分観測確率系、平均場型SDEs に関連する Kolmogorov 方程式および HJB 方程式など、さまざまな応用科学分野に現れます。決定論的および確率論的な熱方程式と Burgers 方程式の最適制御に関連する Kolmogorov 方程式および HJB 方程式の例を数値的に解き、我々の深層学習ベースのアプローチの有望性を示します。
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