要旨: 半径方向円周上における反発‐引力型の平均場自由エネルギーの相転移を研究する。フーリエ係数がある減衰条件を満たす、rac{1}{n+1}-周期的な相互作用について、臨界結合強度 K_c が一様分布の線形安定性の閾値 K_ と一致し、さらに相転移が連続的であること、すなわち臨界点において一様分布が唯一の大域的最小化者であることを証明する。この証明は、拘束されたLebedev--Milin不等式から得られる、自由エネルギーに対する鋭い強圧評価（coercivity estimate）に基づいている。
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本結果を、相転移の正確な値およびモデルパラメータに関するその（不）連続性が十分に分かっていなかった、動機となる3つのモデルに適用する。二次元のDoi--Onsagerモデル W( heta)=-|\sin(2 に対して、
\pi\theta)|K_c=K_ で相転移が連続的であることを証明する。ノイズ付きトランスフォーマーモデル
#=3\pi/4W_\beta(\theta)=(e^{\beta\cos(2\pi\theta)}-1)/\beta では、K_c(\beta) = K_\#(\beta) を満たす鋭い閾値
\beta_*eta \le \beta_* では連続的である一方、eta > \beta_* では K_c(\beta)<K_\#(\beta) となり相転移は不連続であることを示す。また、ノイズ付きHegselmann--Krauseモデル W_{R}(\theta) = (R-2\pi|\theta|)_{+}^2 に対しても、対応する鋭い二分（dichotomy）を得る。
円上のドイ・オンザガー、ノイズ付きトランスフォーマーなどマルチモーダルモデルにおける相転移
arXiv stat.ML / 2026/4/20
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要点
- 本論文は、円上の反発・引力型の平均場自由エネルギーに対する相転移を解析し、フーリエ係数の減衰条件の下で臨界結合強度が線形安定性のしきい値と一致することを示す。
- さらに、制約付きレベデフ–ミリン不等式から得られる鋭い強拘束評価（coercivity estimate）に基づき、臨界点で一様分布が唯一の全体的最小化子となるという強い意味で相転移が連続であることを証明する。
- 2次元ドイ・オンザガー模型 W(θ) = −|sin(2πθ)| では、K_c = K_# = 3π/4 の下で相転移が連続であることを確定する。
- ノイズ付きトランスフォーマーモデル W_β(θ) = (e^{β cos(2πθ)} − 1)/β については、連続性が成り立つノイズしきい値 β* を特定し、β ≤ β* では K_c(β) = K_#(β) で連続、一方 β > β* では K_c(β) < K_#(β) となり不連続になることを示す。
- さらに、ノイズ付きヘーゲルマン–クレイケルスモデル W_R(θ) = (R − 2π|θ|)_+^2 に対しても同様の鋭い二分（dichotomy）が導出され、相転移の特徴づけを追加のマルチモーダル型モデルへ拡張する。
