幾何学的一貫性を持つ楕円PDE写像の学習のためのゲージ共変内在ニューオペレータ

要約: データから偏微分方程式（PDE）の解の作用素を学習することは、マルチクエリ科学ワークフローにおける高速な代理モデルへの有望なルートとして浮上してきました。しかし、局所フレーム（ゲージ）の変化に伴い入力と出力が変換される幾何PDEにおいて、多くの既存の作用素学習アーキテクチャは表現依存性が強く、計量摂動に対して脆弱で、離散化の変化にも敏感です。私たちは Gauge-Equivariant Intrinsic Neural Operators (GINO) という、幾何学的スペクトルに作用する内在的スペクトル乗数を主として用い、ゲージ共変性をもつ非線形性と結合させたニューラルオペレーターのクラスを提案します。この設計は幾何を学習可能な関数依存から切り離し、フレーム変換に対する整合性を保証します。平坦トーラス（\mathbb{T}^2）上の統制された問題でGINOを検証します。ここでは真のレゾルベント演算子と正則化されたヘルムホルツ–ホッジ分解が閉形式のフーリエ表現を持ち、理論に沿った診断を可能にします。実験 E1–E6 を通じて、GINOは低い演算子近似誤差、機械精度に近いゲージ共変性、構造化された計量摂動に対する頑健性、制限/延長下での小さな交換誤差を伴う解像度を跨ぐ強い一般化、そして正規化された正確/共正分解タスクにおける構造保持性能を達成します。アブレーションは、学習されたスペクトル乗数の滑らかさが幾何学的摂動に対する安定性へ与える影響をさらに結び付けます。これらの結果は、 intrinsic 構造とゲージ共変性を課すことが、微分形式値をとる場における楕円PDEに対して、より幾何学的一貫性が高く、離散化に頑健な演算子代理を生み出すことを示唆しています。