盲目逆問題の学習におけるサンプル複雑度について

arXiv stat.ML / 2026/4/21

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要点

本論文は、信号だけでなく順方向演算子も（部分的に）未知である「盲目逆問題」において、識別不能性や対称解の存在により非盲目向けの手法がそのまま適用できない点に着目し、学習の保証を扱います。
それを線形最小平均二乗誤差推定器（LMMSE）の枠組みで解析し、最適推定器の閉形式解を導出するとともに、信号・雑音・ランダム演算子の分布に応じて正則化構造が変わるテホノフ正則化付き定式化との同値性を示します。
ソース条件の仮定のもとで、雑音や演算子のランダム性が小さくなるにつれて再構成誤差がどのように収束するかを理論的に示します。
雑音水準、問題のコンディショニング、利用可能なサンプル数に加え、演算子のランダム性が性能に与える影響を明示的に含む有限サンプル誤差評価（誤差境界）を導出し、数値実験で予測される収束挙動を検証します。
実証的な性能だけに依存しがちなデータ駆動型の盲目アプローチに対し、解釈可能で理論に基づく学習の特徴付けを与えることで信頼性向上を目指します。

Abstract

ブラインドな逆問題は、多くの実験設定で生じます。そこでは、注目する信号と順変換（フォワード）作用素の両方が（部分的に）未知です。この文脈では、非ブラインドの場合に対して開発された手法は、ブラインド設定に固有の同定可能性の問題や対称的な解の存在により、単純には適用できません。最近、このような問題に対処するためのデータ駆動型アプローチが提案されており、強力な経験的性能と適応性が示されています。しかし、これらの手法は多くの場合、解釈可能性に欠け理論的な保証も提供されないため、ブラインド手法がしばしば撮像デバイスのキャリブレーションに結び付くことの多い応用イメージングのような領域での信頼性が制限されます。本研究では、有益な枠組みである線形最小平均二乗誤差推定器（LMMSE）に基づいて、ブラインドな逆問題における学習を明らかにします。最適な推定器に対する閉形式の式を導出し、古典的な回復結果をブラインド設定へ拡張するための理論的解析を提示します。とりわけ、未知の信号、ノイズ、およびランダムな順変換作用素の分布に明示的に依存する正則化構造を持つ、テーラーメイドなティホノフ正則化の定式化との同値性を確立します。また、ソース条件（source condition）を仮定することで、ノイズや作用素のランダム性が減少するにつれて再構成誤差がどのように収束するかを示します。さらに、利用可能なサンプル数、問題の条件数、ノイズレベルの関数として、学習された推定器の性能を特徴づける有限サンプル誤差評価（誤差境界）を導出します。これらの境界は、作用素のランダム性が与える影響を明示的に定量化し、収束率がこのランダム性要因にどのように依存するかを明確にします。最後に、予測された収束挙動を確認する例示的な代表的数値実験を通じて、理論的知見を検証します。