クロス・パーシステンス図の密度とその応用

要旨: トポロジカルデータ解析（TDA）は、クラスター、ループ、ボイドといったトポロジ的特徴を通じてデータの形状と構造を探索する強力なツールを提供します。パーシステンスダイアグラムは TDA の礎となるもので、これらの特徴がスケールにわたってどのように進化するかを捉えます。個々の多様体を分析するには効果的ですが、パーシステンスダイアグラムはそれらの対の相互作用を考慮しません。最近導入されたクロス・パーシステンス図（クロス・バーコード）は、二つの点群のトポロジ的特徴間の関係を特徴づけることによってこの制限を解決します。本研究では、クロス・パーシステンス図の密度の初めての系統的な研究を提示します。その存在を証明し、統計的利用のための理論的基盤を確立し、点群の座標と距離行列から直接クロス・パーシステンス密度を予測する最初の機械学習フレームワークを設計しました。我々の統計的アプローチは、クロス・パーシステンス図の線形特性を活用することで、異なる多様体からサンプルされた点群を識別可能にします。興味深いことに、ノイズを導入することで点群を識別する能力が向上することがわかり、これは TDA アプリケーションにおける新たな有用性を示しています。さまざまなデータセットでの実験を通じて、我々の手法は密度予測において既存の技術を一貫して上回り、点群識別タスクでも卓越した成果を達成します。これらの知見は、クロス・パーシステンス図のより広範な理解に寄与し、データ分析への新たな応用の道を開きます。時系列領域のタスクや AI が生成するテキストの幾何学に関する潜在的な洞察を含む、データ分析への応用の新しい道を切り開くものです。私たちのコードは公開リポジトリで入手可能で、https://github.com/Verdangeta/TDA_experiments に掲載されています。