PINN向けの補助的な有限差分・残差勾配正則化

要旨: 物理に基づくニューラルネットワーク（PINN）は、注目する量がより具体的である場合でも、しばしば単一のスカラー損失で選択されます。われわれは、支配的なPDE残差は自動微分（AD）に基づいたまま維持しつつ、有限差分（FD）は、サンプリングした残差場の勾配を罰する弱い補助項にのみ現れる、ハイブリッド設計を検討します。このFD項は、PDE残差そのものを置き換えるのではなく、残差場を正則化します。
この考えを2段階で検証します。第1段階は、制御されたポアソンのベンチマークで、ベースラインとなるPINN、FD残差勾配正則化器、および整合したAD残差勾配ベースラインを比較します。第2段階では、同じロジックを3次元の環状熱伝導ベンチマーク（PINN3D）に移植します。このとき、ベースライン誤差は波状の外壁付近に集中し、補助グリッドは壁に隣接するボディフィットシェルとして実装されます。
第1段階では、FD正則化器が残差勾配制御の主な効果を再現しつつ、場の精度と残差の清浄さ（cleanliness）の間のトレードオフを明らかにします。第2段階では、シェル正則化器が、外壁フラックスおよび境界条件の挙動という、アプリケーションに直結する量を改善します。シード0〜5および10万エポック（100k epochs）にわたって、最も信頼性の高い検証構成は、Kourkoutas-betaオプティマイザの枠組みのもとでの固定シェル重み5e-4です。これは、シェル項なしの整合実行と比べて、外壁BC（境界条件）RMSEの平均を1.22e-2から9.29e-4へ、また壁フラックスRMSEの平均を9.21e-3から9.63e-4へ低減します。beta2=0.999のAdamは、初期学習率を1e-3に下げると使用可能になりますが、シェルによる恩恵はKourkoutas-betaほど頑健ではありません。全体として、結果はハイブリッドPINNに対する目標特化型の見方を支持します。すなわち、補助のみのFD正則化器は、ここでは外壁フラックスのように、物理的に注目する量と整合している場合に最も有用です。