{\{(\rho_j,f_\#\rho_j)\}_{j=1}^m が f を一意に決定する場合である。系として、確率測度の空間において有限個の押し出し密度の不一致を測ることで、微分同相写像同士を比較する新しい計量を導入する。さらに、密度を滑らかなベクトル場に沿って微小に観測する無限小（infinitesimal）設定においても、同様の結果を証明する。すなわち、
{\{(\rho_j,\text{div} (\rho_j v))\}_{j=1}^m が v を一意に決定する場合である。解析では、必要な密度の個数 m$ に関する見積りを、問題の本質的な次元のみに依存して与えるWhitney埋め込み定理およびTakens埋め込み定理を用いる。加えて、Perron--Frobenius作用素およびKoopman作用素の観点から結果を解釈し、連続の方程式、移流（advection）、Fokker--Planck方程式、移流拡散反応（advection-diffusion-reaction）方程式に関連する特定のPDE逆問題の適切性（well-posedness）に対する新たな保証が、我々の手法によってどのように得られるかを示す。最後に、有限個の押し出し密度から輸送写像が一意に同定されること、および有限個の重み付き発散（weighted divergence）観測からベクトル場が一意に同定されることを示す、説明的な数値実験を提示する。
有限の測度データからの輸送写像およびベクトル場の一意な回復について
arXiv stat.ML / 2026/4/10
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要点
- 本論文は、有限個の押し出し密度から微分同相（輸送写像）を一意に回復するための条件を証明し、データセット
- \{(\rho_j, f_\#\rho_j)\}_{j=1}^m が写像 f を一意に決定する場合を定式化する。
- 確率測度の空間において、有限個の押し出し密度の不一致を定量化することで、微分同相を比較するための新しいメトリクスを導入する。
- 著者らはさらに、「微小（infinitesimal）」な変種を導出し、有限個の重み付き発散／連続性型の計測
- \{(\rho_j, \mathrm{div}(\rho_j v))\}_{j=1}^m
- を観測することで、ベクトル場 v が一意に同定できることを示す。
- 主な理論的手法として、Whitney と Takens の埋め込み定理が挙げられ、固有次元に基づいて必要な密度の数 m を見積もる評価を与える。
- 分析を Perron–Frobenius および Koopman 演算子の観点に結び付けることで、関連する PDE の逆問題（連続性、移流、Fokker–Planck、移流–拡散–反応など）に対する新たな良設定（well-posedness）保証を提供し、数値実験によって裏付けられている。
