Abstract
ほとんどの現代的なブリッジ拡散手法は、補間、Schr"odinger-bridge、または確率的制御の目的を指定して有限時間の輸送を達成し、その後、関連するスコアまたはドリフト場をニューラルネットワークで学習することで実現します。これに対して本研究では、制約されたものの十分に広く、かつ解析的に解けるクラスを同定し、そのクラスでは、スコア、中間分布、プロトコル勾配が、内部の確率的シミュレーション・ループや最適化ループ内のニューラルネットワークなしで、閉形式で利用可能であることを示します。私たちは、古典的な線形--二次--ガウス（LQG）の確率的制御構造を、Path Integral Diffusion（PID）型の輸送問題として再定式化します。古典的なLQG制御では、線形ダイナミクス、ガウス雑音、二次コストがリカッチ方程式と閉形式の最適フィードバックを導きます。LQ-GM-PIDでは、線形--二次の確率的制御の骨格を保持しつつ、終端状態の制御を所与の終端確率密度で置き換え、初期法則と終端法則の両方をガウス混合（GM）として許します。
さらに、LQ-GM-PIDは、ブリッジ拡散を終端ターゲットのマッチングのための道具にとどまらず、経路形成（path shaping）のための道具へと変えます。これは、2次元の回廊タスク、2次元の複数入口の輸送タスク、ならびにd=32かつM=16のガウス混合終端モードに対する高次元のスケーリング研究で示します。いずれも、ノートPC上でサブ50\,msの解析的な事前計算で実行できます。私たちは、LQ-GM-PIDを、最先端のニューラル・ブリッジ拡散および生成的輸送手法に対する、解析的に解ける参照モデルとして位置づけます。すなわち、ニューラル近似、スコア推定、経路形成のための目的関数、そしてプロトコル学習手続きが、厳密な量と比較して検証できる制御された設定です。
