深層ニューラルネットワークの関数空間ノルムを認証付きかつ正確に計算する方法

概要：偏微分方程式（PDE）に対するニューラルネットワーク手法では、関数空間ノルムにおける信頼できる誤差制御が必要となる。しかし、学習済みのニューラルネットワークは通常、有限個の点値に対してのみ調べられる。強い仮定がない場合、点評価だけでは、関数空間ノルムに対する、厳密で決定論的かつ保証された境界を導出するための十分な情報は得られない。本研究では、純粋なブラックボックス設定を超え、ニューラルネットワークの構造そのものを直接活用する。軸に平行なボックス上での区間演算による封入と、適応的なマーキング／リファインメント、さらに四則和に基づく集約を組み合わせることで、ニューラルネットワークの積分量を認証付きかつ正確に計算するための枠組みを提示する。これには、ルベーグノルムおよびソボレフノルムを含む。各ボックスにおいて、関数値および導関数に対する保証された下限と上限を計算し、それらの局所的な証明（certificate）を目標とする積分に対する大域的な下限および上限へと伝播させる。我々の解析は、この種の認証付き適応四則和手続きに対する一般的な収束定理を与え、それを関数値、ヤコビアン、ヘッセ行列へと具体化する。これにより、L^p、W^{1,p}、および W^{2,p} ノルムの認証付き計算が得られる。さらに、これらの要素が、PINN の内部残差に対する実用的な認証付き境界につながる方法も示す。数値実験により、提案手法の精度および実用上の挙動が明らかにされる。