要旨: 線形行列不等式（LMI）は、動力学システムの安定性、ロバスト性、順方向不変性を検証する上で中核的な役割を担ってきた。制御設計や証明書（コンテインメント）合成のための学習ベース手法の急速な発展にもかかわらず、既存のアプローチはしばしば、形式的な保証に必要な「厳密な行列不等式」制約を保持できない。そこで本研究では、LMI制約を構成によって強制する、効率的かつモジュール化された微分可能な射影層であるLMI-Netを提案する。我々の手法は、LMI制約によって定義される集合を、アフィンな等式制約と正半定値コーンの交わりへ持ち上げ、Douglas-Rachford分解によって順伝播を行い、さらに暗黙微分を通じて効率的な逆伝播を可能にする。射影層が可行点へ収束することを保証する理論的結果を確立し、それによりLMI-Netが一般的なニューラルネットワークを、LMI制約を満たす信頼できるモデルへと変換することを示す。摂動を受けた線形システムの一群に対する、不変楕円体の合成や、結合された制御器と証明書の設計を含む実験で評価したところ、LMI-Netは分布シフト下においてソフト制約モデルよりも実現可能性を大幅に改善しつつ、推論速度の速さも維持する。これにより、半正定値計画（SDP）に基づく証明技術と、現代の学習手法との橋渡しを行う。
LMI-Net：線形行列不等式制約付きニューラルネットワークのための微分可能な射影層
arXiv cs.LG / 2026/4/8
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要点
- 本論文は、ソフトなペナルティではなく構成（by construction）によって線形行列不等式（LMI）制約をニューラルネットワークに強制するための、微分可能な射影層であるLMI-Netを提案する。
- 扱うべきLMIの実行可能集合を、アフィンな等式制約と正半定値錐（positive semidefinite cone）の共通部分として再定式化し、Douglas–Rachford分解を用いて順伝播を計算することで、暗黙微分（implicit differentiation）による学習を可能にする。
- 著者らは、射影層が実行可能点に到達することを保証する理論的収束（convergence）の裏付けを示し、一般的なニューラルネットワークを、形式的な証明（certification）を伴ってLMI要件を満たすモデルへと変える。
- 不変楕円体（invariant ellipsoid）の合成や、外乱を受ける線形システムに対する共同のコントローラ設計と証明設計といったタスクで、ソフト制約アプローチと比べて分布シフト下での実行可能性が改善され、かつ高速な推論速度を維持できることを実験で示す。
