Binary Expansion Group Intersection Network

Abstract

条件付き独立性は現代の統計において中核的ですが、特別なパラメトリックな族を越えると、厳密な共分散の特徴づけはめったに認められません。そこで本研究では、多変量の二値データおよびビット符号化された多項（multinomial）変数に対する、分布に依存しないグラフィカルな表現である二値展開群交差ネットワーク（BEGIN）を導入します。任意の二値確率ベクトルおよび多項変数のビット表現に対して、条件付き独立性が、条件付き期待値の疎な線形表現に同値であること、対応する相互作用共分散行列のブロック因数分解に同値であること、ならびに関連する一般化されたシュール補（Schur complement）のブロック対角性に同値であることを証明します。その結果得られるグラフは、二値の相互作用の乗法群の交差によって添字づけられ、ガウス設定を越えたガウス型グラフィカルモデリングの類似物を与えます。この観点では、データのビットを“原子”として扱い、大規模なマルコフ確率場のための構成要素として局所的なBEGIN分子を位置づけます。また、二進（dyadic）のビット表現が、適度な正則性条件のもとで、一般の確率ベクトルに対する条件付き独立性をBEGINが近似することを可能にする方法も示します。主要な技術的道具は、相互作用共分散を群の構造へ結びつける線形写像であるハダマール・プリズム（Hadamard prism）です。