ワンショット生成フロー：存在と障害

要旨: 本研究では、生成モデリングにおける動的測度輸送を、確率過程 X_\bullet の設定で扱います。この過程の周辺分布は、ソース分布 P_0 と目標分布 P_1 の間を補間しつつ独立のままである、すなわち (X_0,X_1)\sim P_0\otimes P_1 のときに対応します。
この過程 X_\bullet の条件付き期待値は、P_0 から P_1 へ輸送する流れの写像を定める ODE（常微分方程式）を定義します。
本稿では、このような過程が
\emph{直線的なフロー}、すなわち点ごとの加速度が消失し、したがって一次の任意の方法で正確に積分可能であるフローをいつ誘導するのかを議論します。
まず、過程の条件付き統計量を含む PDE（偏微分方程式）によって、直線性を複数の特徴づけの形で展開します。
次に、端点の独立性の下での直線性が示す鋭い二分（dichotomy）を証明します。
一方では、任意のガウス的な端点に対して、明示的で計算可能な直線的な過程を構成します。
他方では、十分に分離したモードをもつ目標に対しては、直線的な過程が存在しないことを示します。
これは、独立な端点をもつ過程のサンプルパス挙動と、その過程のフロー写像の時空間的な幾何との間にある本質的な関係を明らかにする、より一般的な不可能性定理の系列を通じて示します。
これらの結果を合わせると、直線的な生成フローが存在し得る／存在し得ない条件についての構造理論が得られます。