関数クラスの不一致下における構成則（constitutive closure）のニューラル・シンボリック発見におけるバイアス継承

arXiv cs.LG / 2026/4/3

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要点

本論文は、時空間観測から非線形反応拡散PDEに対する構成則（拡散・反応の法則）をデータ駆動で発見することを扱い、「残差が小さい＝正しい物理」という誤解を避ける。
3段階のニューラル・シンボリックのパイプラインを提案する：まず、物理的制約のもとで、ノイズに頑健な弱形式の数値サロゲートを学習する。次に、それらを解釈可能な記号的ファミリ（多項式・有理関数・飽和）へと圧縮する。最後に、未知の初期条件に対して明示的な順方向再シミュレーションで検証する。
数値実験の結果、関数ライブラリが一致している場合、従来の弱形式の多項式ベースラインは既に参照推定器にかなり近く、ニューラルサロゲートが自動的にそれらを上回るわけではないことが示される。
関数クラスの不一致がある場合、ニューラルサロゲートは必要な柔軟性を付与し、最小限のロールアウト劣化でコンパクトな記号的法則へ圧縮できる。
著者らは「バイアス継承（bias inheritance）」を特定する。すなわち、記号的圧縮が構成則のバイアスを是正できない、という現象である。構成則の真の誤差がニューラルサロゲートの誤差に追随することから、主なボトルネックは記号的ステップではなく、最初の逆問題にあることが示唆される。

Abstract

我々は、支配するPDE構造が既知である非線形反応拡散系における、構成的閉包のデータ駆動的発見を調査する。目的は、低残差や短いホライズン予測が物理の回復と取り違えられるという一般的な落とし穴を回避しつつ、時空間観測から拡散則と反応則を頑健に復元することである。我々は三段階のニューラル・シンボリック枠組みを提案する。(1) ノイズに頑健な弱形式の目的関数を用いて、物理的制約下で数値サロゲートを学習する。(2) それらのサロゲートを、制限された解釈可能なシンボリック族（例：多項式、有理関数、飽和形）へと圧縮する。(3) 見たことのない初期条件に対して、明示的な順方向の再シミュレーションによりシンボリックな閉包を検証する。大規模な数値実験により、2つの異なるレジームが明らかになった。ライブラリ設定が一致している場合、弱形式の多項式ベースラインは正しく仕様が与えられた参照推定量として振る舞い、ニューラルサロゲートが古典的ベースラインを一様に上回るわけではないことが示される。逆に、関数族の不一致がある場合、ニューラルサロゲートは必要な柔軟性を提供し、最小限のロールアウト劣化でコンパクトなシンボリックな法則へと圧縮できる。しかし我々は、シンボリック圧縮が構成的なバイアスを自動的に修復しないという、重要な「バイアス継承」メカニズムを特定する。さまざまな観測レジームにおいて、シンボリック閉包の真の誤差はニューラルサロゲートの誤差と非常に密接に追随し、バイアス継承比は1に近い値となる。これらの知見は、ニューラル・シンボリックモデリングにおける主要なボトルネックが、その後のシンボリック圧縮ではなく、初期の数値逆問題にあることを示している。構成則の主張は、残差最小化だけではなく、順方向の検証によって厳密に裏付けられるべきであることを強調する。