次元定理

Qiita / 2026/3/29

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要点

実数上の有限次元ベクトル空間 $V$ と線形写像 $f:V\to W$ を前提に、$ im(V)=\dim(\mathrm{Ker}(f))+\dim(\mathrm{Im}(f))$（次元定理）を示す方針が述べられている。
まず核空間 $\mathrm{Ker}(f)$ は部分空間なので基底を持つとして、その基底 ${\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_K}$ と次元 $K$ を定める。
「なぜ基底が存在する（この仮定を置ける）のか」という疑問点を明確にし、有限次元という条件に基づく基底の存在を説明する流れになっている。

【準備】舞台と最強の前提条件のセットアップ実数体上の有限次元ベクトル空間 $V$（次元を $n$ とする）から、ベクトル空間 $W$ への線形写像 $f: V \to W$ を考えます。証明すべき式は以下です。 $$\dim(V) = \dim(\operatornam...

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