Abstract
ラプラス型の結果は、温度 0 が 0 に収束するとき、ルベーグ測度に対する密度 (\mathrm{d} \pi_\varepsilon / \mathrm{d} \mathrm{Leb})(x) \propto \exp[-U(x)/\varepsilon] をもつ確率測度の列 (\pi_\varepsilon)_{\varepsilon >0} の極限を特徴づける。極限分布 \pi_0 が存在するなら、それはポテンシャル U の最小化点に集中する。古典的な結果では、このような漸近挙動を確立するために、U のヘシアンの可逆性が必要である。本研究では、ノルム型（norm-like）ポテンシャル U の特別な場合を扱い、一般化されたヤコビアンの可逆性という条件のもとで、ワッサースタイン距離（1次）のもとでの \pi_\varepsilon と \pi_0 の間の定量的な評価を導出する。我々の証明の重要な要素の一つは、積分幾何学（geometric measure theory）の道具、例えば共面積公式（coarea formula）の使用である。さらに、我々はこれらの結果を、最大エントロピー・モデル（ミクロカノニカル／マクロカノニカル分布）の研究、および非凸な最小化における低温でのストキャスティック勾配ランジュバンジ（Stochastic Gradient Langevin Dynamics: SGLD）アルゴリズムの反復の収束の解析に適用する。
