ニューラル偏微分方程式ソルバーにおける厳密な誤差認定: 経験的残差から解の保証へ

Abstract

偏微分方程式の不確実性の定量化は伝統的に離散化理論に基づいており、解の誤差はメッシュ/グリッドの改良によって制御される。物理情報を組み込んだニューラルネットワークは本質的にこのパラダイムから離れており、局所点での残差損失を最小化することによって解を近似し、最適化、サンプリング、表現、過学習に起因する新たな誤差源を導入する。その結果、解空間における一般化誤差は未解決の問題のままである。 私たちの主要な理論的貢献は、残差制御と解空間誤差を結びつける一般化境界を確立する。ニューラル近似が解空間のコンパクトな部分集合にある場合、残差誤差が消失すると真の解へ収束することを証明する。決定論的および確率論的な収束結果を導出し、残差、境界条件、初期誤差を明示的な解の誤差保証へ翻訳する認定済みの一般化境界を提供する。