位相的 DeepONetsと Chen-Chen 演算子近似定理の一般化
arXiv cs.LG / 2026/3/13
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要点
- 本論文は、任意の Hausdorff 局所凸空間 X からの作用素入力を認め、X* の連続線形汎関数をブランチ測定として用いることで、DeepONet を一般化します。
- ブランチが X を線形測定を介して処理し、トランクが ユークリッド出力領域 K ⊂ R^d 上で作用する、位相的 DeepONet を導入します。
- 主定理は、V ⊂ X および K がコンパクトであるとき、連続演算子 G: V → C(K; R^m) がこのような位相的 DeepONets によって一様近似できることを示します。
- これは Chen-Chen 演算子近似定理を連続関数の空間から局所凸空間へ拡張し、Banach 空間を超える演算子学習の理論的基盤を広げます。
- より一般的な位相設定でのブランチ-トランク近似フレームワークを可能にすることにより、演算子学習の新たな潜在的応用が、より広い関数空間へ広がる可能性を示唆します。
要旨 Deep Operator Networks（DeepONets）は、関数空間間で作用する非線形演算子を近似するためのブランチ-トランク型ニューラルアーキテクチャを提供します。古典的な演算子近似の枠組みでは、入力はコンパクト集合 K1 上で定義される関数 u ∈ C(K1) であり（通常は Banach 空間のコンパクト部分集合）、演算子は u を出力関数 G(u) ∈ C(K2) に写し、K2 はコンパクトなユークリッド領域で K2 ⊂ R^d に定義されます。本論文では、演算子の入力が任意の Hausdorff 局所凸空間 X にある位相的拡張を展開します。X の双対空間 X^* からの連続線形汎函数を用いて X 上に位相的前向きニューラルネットワークを構築し、X 上でこのような線形測定を介して作用するブランチ成分を持つ位相的 DeepONets を導入します。一方、トランク成分はユークリッド出力領域に作用します。我々の主定理は、V ⊂ X および K ⊂ R^d がコンパクトであるとき、連続演算子 G: V → C(K; R^m) がこのような位相的 DeepONets によって一様近似され得ることを示します。これは連続関数空間から局所凸空間への Chen-Chen 演算子近似定理を拡張し、Banach 空間設定を超えるブランチ-トランク近似定理を生み出します。
