偏微分方程式のための線形-非線形フュージョン・ニューラルオペレーター

Abstract

ニューラル演算子学習は、方程式パラメータ空間から解空間への写像関係を直接構築し、実用的な応用において、偏微分方程式（PDE）を繰り返し解く必要なしに、効率的な直接推論を可能にします。これは、従来の数値計算手法では達成しにくい利点です。本研究では、このような演算子写像の中で線形効果と非線形効果を明示的にデカップリングすることにより、学習効率が大幅に向上することを見いだします。これにより新しいネットワーク構造、すなわち線形-非線形フュージョン・ニューラル演算子（Linear-Nonlinear Fusion Neural Operator; LNF-NO）が得られます。LNF-NOは、線形成分と非線形成分を乗算的に融合することで演算子写像をモデル化し、これによって軽量で解釈可能な表現を実現します。この線形-非線形のデカップリングにより、演算子レベルで複雑な解の特徴を効率よく捉えつつ、安定性と汎化性を維持できます。LNF-NOは複数の関数入力を自然にサポートし、整った格子と不規則な幾何の両方に適用可能です。非線形ポアソン-ボルツマン方程式や多物理場結合システムを含む、幅広いPDE演算子学習ベンチマーク群において、LNF-NOは多くのケースで精度が同等、あるいはそれ以上でありながら、Deep Operator Networks（DeepONet）やFourier Neural Operators（FNO）よりも概して大幅に学習が速いことが示されます。検証した3Dポアソン-ボルツマンのケースでは、LNF-NOは比較したモデルの中で最良の精度を達成し、3D FNOのベースラインより約2.7倍速く学習します。