ラベル付き積空間上の確率分布に対する演算子の学習：非交換的システムの平均場制御への応用

概要: 本稿では、積空間上の確率測度に作用する演算子の近似について、周辺（マージナル）が所与である場合を考察します。I をラベル空間とし、基準測度 94 を備えたものとします。そして、94 を最初の周辺とする I\times \mathbb{R}^d 上の確率測度全体の集合を
cal M_94 と定義します。分解（ディスインテグレーション）により、
cal M_94 の元は、ラベル付きの条件付き分布の族に対応します。このような制約付きの測度空間上で定義される演算子は、不均質で交換可能でない（非交換的な）エージェントを伴う平均場制御問題に自然に現れます。

本研究の主な理論的結果は、
cal M_94 上の連続演算子に対する普遍近似定理を確立することです。証明は、確率測度の円筒状（シリンダー型）近似と、DeepONet 型のブランチ・トランク神経ネットワーク構造を組み合わせることで、そのような演算子の有限次元表現を導きます。さらに、
cal M_94 上の学習用測度を生成するためのサンプリング戦略を導入し、条件付きの平均場演算子の実用的な学習を可能にします。

提案手法を、不均質な相互作用を伴う平均場制御問題の数値的解法に適用し、同種（交換可能）なシステムを対象として開発された既存のニューラル手法を拡張します。数値実験により、提案フレームワークの精度と計算効率の高さが示されます。