Abstract
本稿では、Walsh-Hadamard のバタフライ因数分解に対する、影響（influence）適応型の Banach 幾何学である Banach-Butterfly Invariant（BBT）を導入する。座標ごとの影響 mathrm{Inf}_l(f) をもつブール関数 f:\{-1,+1\}^n\to\{-1,+1\} に対して、BBT はバタフライ層 l に指数 p_l = 1+mathrm{Inf}_l(f) を割り当て、収縮不変量（contraction invariant） mu(f)=\prod_l 2^{-mathrm{Inf}_l/(1+mathrm{Inf}_l)} を与える。我々は Jensen による下界 log_2mu(f) \ge -I(f)/(1+I(f)/n) を証明し、さらに mu が影響ベクトル（ただし置換による同一視）に関して厳密に Schur-凸（Schur-convex）であることを示し、スケーリング類 mu\sim 2^{-n/2}（パリティ）、2^{-\Theta(\sqrt{n})}（多数決）、2^{-1/2}（ダミー変数）を得る。log_2mu は有理数だがフーリエ係数に対して多項式ではない一方、mu は代数的である。また、mu は総影響が同一の関数を分離でき（n=3 で 122 組）、同一総影響をもつ関数間を区別することができる。
付随する合成（synthesis）原稿から得られた、検証済みの n \le 4 の三値 Walsh-threshold ユニバースを有限のテストベッドとして用い、n=4 における全 65,536 個のブール関数について、厳密な MILP 最小支持証明（minimum-support certificates）を計算する（平均 6.42、最大 9、パリティの議論により全て奇数）。さらに n=5 では、我々が列挙した 616,126 個の NPN-正準代表（NPN-canonical representatives）のうち 10,000 個について計算する（OEIS A000370 と一致）。固定した総影響のもとでの条件付き Spearman の rho(mu,|\mathrm{supp}|) は、n=4 の最大ストラタでは +0.571 だが、関数一様サンプリングおよび NPN-正準サンプリングの両方で n=5 では -0.38 へと反転する。mu は妥当な Schur-凸な濃度不変量（concentration invariant）であるが、n をまたいだ最小支持に対する普遍的な単調予測子（universal monotone predictor）ではない。
付随する応用論文では、この理論に触発された実数値の WHT 活性化エネルギー代理（activation-energy proxy）について、W2A16 における 5 つの事前学習済み LLM で妥当性を検証し、バニラの auto-round に比べ wikitext-2 の perplexity を 15-58% 減少させることを示す。ブール理論から実数値代理への移転は定性的であり、形式的（formal）ではない。
