すべてを支配する1つの演算子か？ニューラルPDEソルバーにおける境界条件インデックス付き演算子ファミリ

要旨：ニューラルPDEソルバーは、問題データをPDE解へ写像する解法演算子として学習することが多く説明される。本研究では、この解釈は、境界条件が変化する場合には一般に正しくないと主張する。標準的なニューラル演算子訓練は、単一の境界条件非依存の演算子ではなく、境界インデックス付きの演算子ファミリを暗黙的に学習し、学習された写像は訓練中に見られた境界条件分布によって根本的に条件づけられている。この視点を、境界条件上の条件付きリスク最小化として演算子学習を位置づけることで正式化し、訓練境界分布のサポート域の外で識別不能性という結果につながる。結果として、外力項（強制項）や解像度の一般化は、境界条件間の一般化を意味しない。私たちは、ポアソン方程式を対象とした制御実験によって理論的分析を裏づけ、境界条件のシフト時の鋭い劣化、異なる境界集合間の分布横断の不具合、境界情報が除去されたときの条件付き期待値への収束を示す。私たちの結果は、現在のニューラルPDEソルバーの核となる制限を明らかにし、PDEの基盤モデルを追求する際に、境界を明示的に意識したモデリングの必要性を強調する。