スコア・ショック：拡散生成モデルのバーガーズ方程式構造

概要: 我々は、拡散生成モデルのスコア場を、Burgers 型の進化則によって解析する。VE 拡散において、熱によって進化したデータ密度は、スコアが 1 次元では粘性 Burgers に従い、
\R^d においては対応する渦なしベクトル Burgers 系に従うことを意味し、モード間界面の鋭化としての\emph{種分化（speciation）遷移}を PDE（偏微分方程式）的に捉える見通しを与える。ノイズを加えた密度を正の 2 つの熱解に分解する任意の二値分解に対して、スコアは滑らかな背景と、成分の対数比によって決まる普遍的な anh の界面項に分離する。規則的な二値のモード境界の近傍では、これにより種分化のための通常の判定基準が得られる。対称な二値ガウス混合では、この判定基準はスコアの中点微分によって検出される臨界拡散時間を復元し、Biroli, Bonnaire, de~Bortoli, M\'ezard（2024）のスペクトル判定基準とも一致する。背景ドリフトを差し引いた後、モード間層は局所的な Burgers anh プロファイルを持ち、対称なガウスの場合には幅
\sigma_ au^2/a でこれが大域的になる。さらに、この層にわたるスコア誤差の指数的増幅を定量化し、Burgers ダイナミクスが渦なし性を保存することを示し、変数変換を用いて VP-SDE を VE の場合へ還元し、閉形式の VP の種分化時間を導く。ガウス混合に関する式は機械精度で検証され、局所定理は四次の二重井戸に対して数値的に検証する。