多様体上での同時CNN近似：境界値問題への応用

arXiv cs.LG / 2026/5/7

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要点

本論文は、コンパクトなリーマン多様体上で多様体上の関数を同時に近似し、楕円型境界値問題を解くためのCNNベース手法を提案する。
単一チャネルおよびマルチチャネルCNNに対してソボレフ近似の収束率を示し、収束が外在次元ではなく多様体の固有次元と滑らかさ（smoothness）に依存することで次元の呪いを緩和する。
その近似理論を基に、境界値問題向けの物理インフォームドCNN（PICNN）フレームワークを構築し、標準PINNで起きがちな「境界ノルムの不一致」に焦点を当てる。
境界ラプラス＝ベルトラミ作用素に基づくスペクトル境界損失により、ソボレフのトレース誤差を重み付き周波数エネルギーとして制御し、境界固有値の減衰と打ち切り誤差の関係を与える。
数値実験により、提案手法が標準PINNよりも精度、収束、安定性で優れていることを示す。