要旨: スペクトル・カーネル場の方程式 R[k] = T[k] には、保存則に対応するアナログが欠けている。我々は (i) 固定点フローが厳密に体積を拡大すること（tr DF > 0）を証明し、これにより自動的な保存が妨げられること、ならびに (ii) モードごとの保存欠損がヘッセ安定性のマージンに正確に等しいこと（D_m = -Delta'）を証明する。欠損を埋めるには、シーン側での補償的な寄与が必要であり、これを方程式 dc/dt = G[c, h_t] として定式化する。ここで G は MaxCal 最適な実現 G_opt である。固定位相のトポロジーを持つ 3D サーフェス・グラフ上で、条件付きのトポロジー保存圧縮定理を導出する。すなわち、（スペクトル順序付けの仮定の下で）k >= beta_0 + beta_1 モードを保持すれば、すべてのベッティ数の電荷が保存される。さらに、この仮定が破れるときの条件を較正するための、短い周期における作業済みの反例（図８）も含める。三重に必要なスペクトル診断——フィードラー・モードの集中度、高められたクルエネルギー、異常な beta_1——は、惑星の排水ネットワークに対して O(N) コストで導出する。内部の実データ系列による 2 つの予備的整合性チェックも提示するが、完全なベンチマークと適応的トポロジー拡張は延期する。
惑星表面グラフのためのスペクトル・カーネル動力学：識別ダイナミクスとトポロジー保存の区別
arXiv cs.LG / 2026/4/24
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要点
- 本論文は、スペクトル・カーネル場の方程式 R[k] = T[k] が保存則のアナログを自然には持たないことを示しており、固定点フローが厳密に体積拡大するため（tr DF > 0）、自動的な保存が妨げられる。
- 各モードの「保存の不足量」とヘッセ安定性マージンの間に厳密な関係を導き（D_m = -Delta'）、この不足を埋めるには追加の補償的寄与が必要になる。
- 補償は「識別ダイナミクス」方程式 dc/dt = G[c, h_t] として形式化され、さらに MaxCal に基づく最適実現 G_opt も提案されている。
- 固定トポロジーの3次元サーフェス・グラフに対して、条件付きのトポロジー保存型圧縮定理を示し、スペクトル順序付けの仮定のもとで十分な数（k ≥ beta_0 + beta_1）のモードを保持すれば Betti数の保存（“charges”）が維持されることを明らかにする。
- 惑星の排水ネットワークに対して、Fiedlerモードの集中、渦（curl）エネルギーの増大、beta_1 の異常といった指標からなる低コスト（O(N)）のスペクトル診断法を導出し、完全なベンチマークや適応トポロジー拡張は今後に委ねるとしている。
