GL-LowPopArt：一般化低ランクのトレース回帰に対する、ほぼインスタンス単位でミニマックス最適な推定器

要旨: 我々は、一般化低ランクトレース回帰に対する、Catoni 型の新しい推定量である `GL-LowPopArt` を提案する。`LowPopArt`（Jang ら、2024）を基に、本手法は二段階アプローチを採用する：まず核ノルム正則化を行い、その後に行列 Catoni 推定を実施する。推定誤差に関する最先端の誤差境界を確立し、既存の保証（Fan ら、2019；Kang ら、2022）を上回るとともに、新しい実験設計の目的
\mathrm{GL}(\pi) を明らかにする。主要な技術的課題は、非線形な逆リンク関数によるバイアスを制御することであり、これを二段階アプローチによって解決する。我々は、*局所ミニマックスの下界*を証明し、`GL-LowPopArt` が、真の Hessian の条件数までの範囲で、インスタンスごとの最適性を享受することを示す。本手法は一般化線形行列補完において、直ちに改善されたフロベニウス誤差の保証を達成する。また、**双線形デュエリング・バンディット**と呼ばれる新しい問題設定を導入する。これは、一般の選好モデルを伴うデュエリング・バンディットの文脈付けされた版である。`GL-LowPopArt` による explore-then-commit（探索して確定する）アプローチを用いることで、na"ive なベクトル化（Wu ら、2024）に比べて Borda regret（Borda regret 境界）が改善されることを示す。