正規化フローによる適応的座標変換下でのエルミート近似に関する収束理論

arXiv stat.ML / 2026/4/21

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要点

本論文は、エルミート展開を用いる近似に対して、適応的に学習した座標変換を合成した場合の初めての誤差見積もりを提示します。
「同値原理」として、変換された基底の張る空間で関数を近似することは、標準のエルミート関数の張る空間でそのプルバック（逆写像）を近似することと同等であると示します。
この対応により問題を古典的なエルミート近似理論へ還元し、変換後座標での収束・誤差を、プルバックの正則性（滑らかさ）に関する性質で表します。
さらに、実軸方向に減衰し、滑らかな関数を対象に、単調な輸送写像によって構成された非線形座標変換が収束を改善し、スペクトル収束率を保証する具体例を示します。
全体として、正規化フロー（可逆ニューラルネットワーク）を用いた適応的エルミート近似の収束挙動に理論的な裏付けを与え、計算量子物理での最近の取り組みに整合する内容です。

要旨: 最近の研究により、正規化フロー、すなわち可逆なニューラルネットワークを用いて座標変換をパラメータ化し最適化すると、スペクトル近似の収束が大幅に加速され得ることが示されている。本稿では、適応的な座標変換と組み合わせたエルミート展開を用いて関数を近似するための、最初の誤差推定を提示する。解析により、次の等価性原理を確立する：変換された基底の張る空間において関数 $f$ を近似することは、エルミート関数の張る空間において $f$ の引き戻し（pullback）を近似することと同値である。これにより、エルミート展開に関する古典的な近似理論を活用して、引き戻しの正則性により、変換後の座標における誤差推定を導くことが可能となる。さらに、非線形な座標変換がエルミート展開の収束をどのように改善し得るかを示す例を提示する。実軸方向に減衰する滑らかな関数に焦点を当て、目標関数の減衰をエルミート基底に整列させる単調な輸送写像（monotone transport map）を構成する。これにより、対応するエルミート展開に対してスペクトル収束率が保証される。本解析は、近年計算量子物理の文献で探究されている正規化フローに基づく適応的エルミート近似の収束挙動に関する理論的な洞察を提供する。