厚尾分布に対する主成分分析

要旨： 主成分分析（PCA）は次元削減の基礎であるが、その古典的な定式化は二次モーメントに大きく依存しており、厚尾データや衝撃ノイズの存在下では脆弱である。数多くの頑健な PCA の変種が提案されてきたが、ほとんどは有限分散を仮定したり、スパース性に基づく分解に依存したり、無限分散モデルを統一的に扱うには至っていない。本論文では、$ extbf{X} = A^{1/2} extbf{G}$ という形の超統計的依存モデルに従って生成される高次元データの PCA を研究する。ここで $A$ は正の確率的スカラー、$ extbf{G}$ はガウスベクトルである。この枠組みは、多変量 $t$ 分布やサブガウシアン型 α-安定法則を含む、厚尾分布の広いクラスを捉える。モーメントが存在しなくても定義可能な対数損失の下で PCA を定式化する。主要な理論的結果は、この損失の下では、厚尾データの主成分が、基になるガウス生成器の共分散行列に標準の PCA を適用して得られる主成分と一致することを示している。この洞察を踏まえ、厚尾データから直接この共分散行列の頑健な推定量を提案し、それらを経験的共分散および Tyler の散布推定量と比較する。背景ノイズ除去タスクを含む広範な実験は、提案手法が主成分方向を信頼性高く回復し、厚尾・衝撃ノイズの存在下で古典的な PCA を大幅に上回る一方、ガウスノイズ下でも競争力を維持することを示している。