Persistence-based topological optimization：サーベイ

概要: 計算トポロジーは、構造化された対象（画像、グラフ、点群など）から定量的な記述子を抽出するための手法である永続ホモロジーを提供します。これらの記述子は、その後、最適化問題に関与させることができ、典型的にはトポロジーに関する事前知識を組み込む方法、あるいは機械学習モデルを正則化する方法として用いられます。これは通常、これらの記述子に基づいて、トポロジーを考慮した適切な損失を最小化することで達成されます。そして、そのことは自然に、勾配ベースのアルゴリズムによってそのような損失関数を最適化できる可能性に関する理論的・実践的な問いを提起します。これは過去10年の間、トポロジカルデータ解析コミュニティにおいて活発に研究されてきた分野であり、勾配降下法の枠組みにおいて永続性に基づく損失関数を最適化できるようにするためのさまざまな手法が開発されてきました。本サーベイは、この分野の現状を提示し、理論的基礎、アルゴリズム面を扱い、さらに複数の応用における実践的な利用例を紹介します。永続性理論に対する詳細な導入を含むため、本分野の数学者およびデータサイエンティストの新規参入者にもアクセスしやすいことを目指しています。あわせて、本サーベイで扱うさまざまなアプローチを実装するオープンソースのライブラリが付属しており、研究者がこの分野に慣れ親しむための便利な遊び場（プレイグラウンド）を提供します。