反射拡散モデルは低次元データに適応する

要旨: スコアベースの生成モデルの数学的基礎は、制約のないユークリッド空間に対してはますます十分に理解が進んでいる一方で、多くの実用的な応用では、データが有界な領域に制限されています。本論文では、d次元の線形部分空間上に台をもつ目標分布に対して、超立方体 [0,1]^D 上の反射拡散モデルの統計的解析を行います。この設定における主要な課題は、標準理論において mathbb{R}^D上の中心的役割を担うガウス型の遷移核が存在しないことです。遷移密度の、容易に実装可能な無限級数展開を用いることで、スコア関数およびその疎なReLUネットワークによる近似を評価するための解析的手法を構築します。ソボレフ滑らかさが alphaの目標密度に対して、任意に小さい \delta>0に対し、1-ワッサースタイン距離における収束速度がn^{-rac{\alpha+1-\delta}{2\alpha+d}}の次数であることを示し、生成アルゴリズムが内在次元\u0009dへ完全に適応することを実証します。これらの結果は、反射境界の存在が拡散パラダイムの基本的な統計効率を損なわず、制約のない設定で知られているほぼ最適な速度と一致することを確認しています。