Prior Predictive Matching によるテンソル階数の同定可能性について

arXiv stat.ML / 2026/4/3

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要点

本論文は、確率的テンソルモデルにおいて、prior predictive のモーメント・マッチングを用いて階数同定のための厳密な基準を導出することで、テンソル因子分解における潜在階数の選択問題に取り組む。
モーメント・マッチング条件を対数線形の連立方程式へと変換し、その解ける条件がテンソル階数の同定可能性と同値であることを示す。
このアプローチを、4つの代表的なテンソルモデル（PARAFAC/CP、Tensor Train、Tensor Ring、Tucker）に適用し、PARAFAC/CP の線形構造、Tensor Train の鎖構造、Tensor Ring の閉ループ構造が可解な系を生み出すことを示す。
Tucker モデルについては、対称的なトポロジーによりその系が過少決定になることを著者らが証明しており、この方法では階数が同定不能である。
同定可能な場合について、本論文は観測データから計算したモーメントのみに依存する、明示的な閉形式の階数推定量を提示し、それを頑健性チェックによって実験的に検証する。

要旨: テンソル因子分解における潜在次元（ランク）の選択は、しばしばヒューリスティック手法に依存する中心的な課題である。本論文では、事前予測モーメント整合に基づく確率的テンソルモデルにおいて、ランクの識別可能性を決定するための厳密なアプローチを提案する。モーメント整合条件の集合を、周辺モーメント、事前ハイパーパラメータ、ランクに関する対数線形の方程式系へと変換し、その方程式系の可解性とランク識別可能性の同値性を確立する。この枠組みを4つの基礎的なテンソル・モデルに適用し、PARAFAC/CPモデルの線形構造、Tensor Trainモデルの鎖状構造、Tensor Ringモデルの閉ループ構造はいずれも解ける方程式系を与え、その結果としてランクが識別可能になることを示す。対照的に、Tuckerモデルの対称トポロジーは未決定（underdetermined）な方程式系をもたらし、この方法によってはランクが識別不可能になることを証明する。識別可能なモデルについては、観測データのモーメントのみから得られる明示的な閉形式のランク推定量を導出する。提案を経験的に検証し、その頑健性も評価する。