ハミルトン動力学のニューラルネットワークモデルにおける位相空間の整合性：ラグランジュ記述子アプローチ

要旨: 我々は、従来の軌道ベースの指標を超えて、ハミルトン系のニューラルネットワークモデルを評価するための診断フレームワークとして、ラグランジアン記述子（Lagrangian Descriptors: LDs）を提案する。標準的な誤差指標は短期的な予測精度を定量化するが、軌道や分離曲線（separatrices）といった大域的な幾何構造についての洞察はほとんど与えない。散逸系における既存の評価ツールは、系の本質的な違いのために、ハミルトン動力学には不適切である。LD値によって重み付けした確率密度関数を構築することで、情報理論的な比較に適した統計的枠組みに幾何学的情報を埋め込む。物理的制約を課したアーキテクチャ（SympNet、H\'enonNet、一般化ハミルトンニューラルネットワーク）を、2つの代表的な系に対してデータ駆動型のリザバーコンピューティングと比較ベンチマークする。ダフィング振動子では、すべてのモデルが、要求データ量が控えめでもホモクリニック軌道の幾何を復元できるが、臨界構造の近傍での精度はモデルによって異なる。ところが3モード非線形シュレーディンガー方程式では、明確な差が現れる。対称プ レクティック（symplectic）なアーキテクチャはエネルギーを保存する一方で位相空間の位相（トポロジー）を歪めるのに対し、リザバーコンピューティングは明示的な物理的制約を欠くにもかかわらず、高い忠実度でホモクリニック構造を再現する。これらの結果は、LDに基づく診断が、予測性能だけでなく、学習されたハミルトンモデルの大域的な力学的整合性（ダイナミクスの健全性）を評価するうえでも有用であることを示している。