加重ベイズ・コンフォーマル予測

要旨: 共形予測（conformal prediction）は、分布非依存の予測区間を提供し、有限標本での被覆（カバレッジ）保証を持ちます。そしてSnell \& Griffithsによる最近の研究は、それをベイズ積分（Bayesian Quadrature; BQ-CP）として再構成し、閾値に対するディリクレ分布（Dirichlet）の事後分布によって強力なデータ条件付きの保証を得ています。しかし、BQ-CPは本質的に i.i.d.（独立同分布）の仮定を必要とします――この制約は著者自身も認めています。一方、重み付き共形予測（weighted conformal prediction）は、重要度（importance）重みによって分布シフトを扱いますが、頻度論的な枠組みのままであり、点推定としての閾値しか与えません。そこで本研究では、\textbf{重み付きベイズ共形予測（Weighted Bayesian Conformal Prediction; WBCP）}を提案します。これは、一様なディリクレ分布 \Dir(1,\ldots,1) を、Kishの有効標本サイズである
eff を用いた重み付きディリクレ分布 \Dir(
eff \cdot \tilde{w}_1, \ldots,
eff \cdot \tilde{w}_n) に置き換えることで、BQ-CPを任意の重要度重み付き設定へと一般化するものです。私たちは4つの理論結果を証明します: (1)~
eff は、頻度論的分散とベイズ的分散を一致させる唯一の集中パラメータであること；(2)~事後標準偏差が O(1/\sqrt{
eff}) の速度で減衰すること；(3)~BQ-CPの確率的優越（stochastic dominance）の保証が、重みプロファイルごとのデータ条件付き保証へ拡張されること；(4)~HPD（highest posterior density）閾値が、条件付き被覆において O(1/\sqrt{
eff}) の改善を与えること。私たちは、WBCPを空間予測に対して \emph{地理的BQ-CP（Geographical BQ-CP）}として具体化します。ここでは、カーネルに基づく空間重みが、解釈可能な診断を伴う各地点の事後分布を生成します。合成データおよび実世界の空間データに対する実験により、WBCPが被覆保証を維持しつつ、はるかに豊富な不確実性情報を提供することを示します。