非線形二時尺度確率近似における有限時間デカップルド収束

Abstract

2タイムスケールの確率近似（SA）では、異なるステップサイズを用いて、異なる速度で2つの反復が更新され、それぞれの更新が互いに影響し合います。線形の2タイムスケールSAに関するこれまでの研究では、これらの更新に対する平均二乗誤差の収束率が、それぞれのステップサイズのみに依存することが示されています。これはデカップルされた収束（decoupled convergence）と呼ばれる現象です。しかし、非線形SAにおいてデカップルされた収束を達成することは、いまだ十分に理解されていません。本研究では、非線形の2タイムスケールSAにおいて有限時間でのデカップルされた収束の可能性を調べます。入れ子構造の局所線形性の仮定のもとで、適切なステップサイズ選択により有限時間でデカップルされた収束率を達成できることを示します。この結果を導くために、反復間の行列のクロスタームの収束解析を行い、局所線形性によって誘発される高次の誤差項を制御するために4次モーメントの収束率を活用します。さらに、デカップルされた収束における局所線形性の必要性をより詳しく検討するために、例も構成します。この例では、速いタイムスケールの更新が線形であっても、遅いタイムスケールの更新の非線形性だけでデカップルされた収束が破壊され得ることを示します。