行列の複素補間（Complex Interpolation）と、マルチ・マルチフォールド学習（Multi-Manifold Learning）への応用

Abstract

2つの対称正定値行列 A, B \in \mathbb{R}^{n \times n} が与えられたとき、0 \leq x \leq 1 に対する補間 A^{1-x} B^x のスペクトル特性を調べる。A と B における「共通構造」の存在や、同様の方向を指す固有ベクトルは、この補間の観点を用いて調査できる。一般に、作用素ノルム \|A^{1-x} B^x\| の厳密な対数線形性は、元の行列に共通の固有ベクトルが存在することと同値である。安定性の評価は、近似的な対数線形性が、主要な特異ベクトルを両方の行列の主要（先頭の）固有ベクトルへと整列させることを強制することを示す。これらの結果は、多視点データにおいて共通かつ異なる潜在構造を特定する多マンifold学習の枠組みに対する提案と、その理論的正当化を与える。