超可測（ユルトリック）OGP：パラメトリックRDTによる対称バイナリパーセプトロンの接続

Abstract

[97,99,100]では、 emph{統計的計算ギャップ}（SCG）を特徴づけるためのfl-RDTフレームワークが導入されている。

emph{対称2値パーセプトロン}（SBP）を研究した[100]では、（
emph{マージン}に対して
appa=1の場合の）第7回リフティング・レベルで、
emph{アルゴリズム的}しきい値推定
alpha_a
approx
alpha_c^{(7)}
approx 1.6093を得ており、[18]での1.58の局所エントロピー（LE）予測に非常に近い。
本論文では、さらにパラメトリックRDTを重なりギャップ特性（OGPs）の別の主要な幾何学的特徴と結び付ける。具体的には、任意の正の整数sに対して、s-レベルの超距離計（ultrametric）OGP（ult_s-OGPs）を考え、それに対応する制約密度
alpha_{ult_s}を厳密に上界評価する。これを達成するために、組合せ論的成分と確率論的成分からなる解析的な和の上界（union-bounding）プログラムを開発する。組合せ論的部分を凸問題として、確率論的部分を入れ子になった積分として定式化し、その数値評価を行う。その結果、最も厳しい上界は最初の2レベルであり、
bar{
alpha}_{ult_1}
approx 1.6578および
bar{
alpha}_{ult_2}
approx 1.6219となり、3次および4次のリフティング・レベルにおけるパラメトリックRDT推定、
alpha_c^{(3)}
approx 1.6576および
alpha_c^{(4)}
approx 1.6218に非常に近いことが分かる。また、重なり値や超距離クラスターの相対的な大きさなど、他の主要なパラメータにおいても非常に良い一致が観測される。
これらの観測に基づき、ult-OGPとパラメトリックRDTを結び付けるいくつかの予想を提案する。具体的には、アルゴリズム的しきい値
alpha_a=
lim_{s ightarrow
afty}
alpha_{ult_s} =
lim_{s ightarrow
afty}
bar{
alpha}{ult_s} =
lim_{r ightarrow
afty}
alpha_{c}^{(r)}を予想し、さらに
alpha_{ult_s}
leq
alpha_{c}^{(s+2)}（いくつかのs、あるいは場合によっては全てのsについて等号が成り立つ可能性がある）と予想する。最後に、ult-OGPとパラメトリックRDTの全主要パラメータを結ぶ完全な同型（isomorphism）が存在する可能性について議論する。