要旨: 本研究は、非教師ありPhysics-Informed Neural Network（PINN）フレームワークを介して学習された深さ2のニューラルネットワークにより、（d+1）次元の非圧縮Navier-Stokes方程式の解を近似する手法に対して、汎化誤差の厳密な初の上界を確立する。これは、PINNリスクのRademacher複雑度を評価することで実現する。適切に重みが有界なネットのクラスに対して、導出した汎化境界はネットワーク幅に対して明示的には依存せず、我々のフレームワークは、流体の運動学的粘性および損失の正則化パラメータを通して汎化ギャップを特徴づける。特に、得られるサンプル複雑度の境界は次元に依存しない。これらの汎化境界は、流体力学を解くために新しい活性化関数を用いることを示唆している。提案する活性化関数、およびTaylor-Green渦のベンチマークを解くPINNセットアップにおけるそれらに対応する境界について、実証的な検証を行う。
非圧縮ナビエ–ストークス方程式に対する物理情報ニューラルネットワークの一般化境界
arXiv cs.LG / 2026/3/25
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要点
- 本論文は、深さ2のニューラルネットワークを用いて非圧縮ナビエ–ストークス方程式の解を近似する教師なし物理情報ニューラルネットワーク（PINN）に対して、一般化誤差の最初の厳密な上界を導出する。
- 分析は、PINNのリスクのラダマッハ複雑度を上界付けることによって行われ、ネットワーク幅を明示的に扱うのではなく、運動粘性および損失の正則化パラメータを通じて一般化ギャップを特徴づける。
- 得られるサンプル複雑度の境界は次元に依存しないため、高次元の流体力学問題に対して強力な理論的利点となる。
- 著者らは、この境界が流体力学PINNソルバのための新しい活性化関数の動機付けとなることを主張し、Taylor–Green渦ベンチマークを用いた実験的検証を提示する。
