到達可能性から学習可能性へ：量子ニューラルネットワークのための幾何学的設計原理

抽象: 古典的な深層ネットワークが有効なのは、深さがデータ表現の適応的な幾何学的変形を可能にするからである。 しかし量子ニューラルネットワーク（QNN）では、深さ、または状態到達可能性だけでは、この特徴学習能力が保証されない。 我々は、符号化されたデータを
\mathbb{C}P^{2^n-1} に埋め込まれた多様体として見なし、リー代数の方向に沿った微小なユニタリ作用を解析することで、純粋状態の設定においてこの問題を研究する。 Classical-to-Lie-algebra（CLA）マップと、ほぼ完全局所選択性（aCLS）の基準を導入する。 aCLS は、方向の完全性とデータに依存した局所選択性を組み合わせたものである。 この枠組みの中で、データに依存しない訓練可能なユニタリは完全だが非選択的、すなわち学習可能な剛体的な再配向（リオリエンテーション）を学習できる一方、純粋データの符号化は選択的だが調整不能、すなわち固定された変形を行うにとどまることを示す。 よって、幾何学的柔軟性には、データと訓練可能な重みの非自明な同時依存が必要である。 さらに、多くの量子ビット状態多様体の高次元の変形にアクセスするには、パラメータ化されたエンタングリングの方向が必要であり、CNOT のような固定エンタングラは適応的な幾何学的制御を提供できないことを示す。 数値例により、aCLS を満たすデータ再符号化（re-uploading）モデルは、調整不能な方式よりも優れており、しかもゲート操作数は全体の4分の1で済むことが検証される。 したがって、得られる全体像は、QNN の設計概念を状態到達可能性から、隠れた量子表現の制御可能な幾何学へと組み替えるものである。